一年级趣味数学：秦王暗点兵（１）

    秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。

    物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为："今有物不知其数，三三数之 二，五五数之 三，七七数之 二，问物几何？"

    这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？

    变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求这个数。

    这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。

    这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。

    我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？

    这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。

    如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。

    例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。

    要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。

    最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。

    为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15 m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。